Định lý giá trị trung bình Cauchy, còn được biết dưới tên định lý giá trị trung bình mở rộng, là một tổng quát hóa của định lý giá trị trung bình. Nó phát biểu rằng: Nếu các hàm số f {\displaystyle f} và g {\displaystyle g} cùng liên tục trên khoảng đóng [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} và khả vi trên khoảng mở ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , khi đó tồn tại một điểm c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} sao cho

( f ( b ) − f ( a ) ) g ′ ( c ) = ( g ( b ) − g ( a ) ) f ′ ( c ) . {\displaystyle {\big (}f(b)-f(a){\big )}g'(c)={\big (}g(b)-g(a){\big )}f'(c).}

Nếu g ( a ) ≠ g ( b ) {\displaystyle g(a)\neq g(b)} và g ′ ( c ) ≠ 0 {\displaystyle g'(c)\neq 0} , điều này tương đương với

f ′ ( c ) g ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) . {\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}

Nói theo ngôn ngữ hình học, điều này có nghĩa là tồn tại một tiếp tuyến với đồ thị của đường cong

[ a , b ] → R 2 t ↦ ( f ( t ) , g ( t ) ) , {\displaystyle {\begin{array}{ccc}[a,b]&\to &\mathbb {R} ^{2}\\t&\mapsto &{\bigl (}f(t),g(t){\bigr )},\end{array}}}

sao cho tiếp tuyến này song song với đường thẳng nối hai điểm ( f ( a ) , g ( a ) ) , ( f ( b ) , g ( b ) ) {\displaystyle {\big (}f(a),g(a){\big )},{\big (}f(b),g(b){\big )}} . Tuy nhiên, định lý Cauchy không khẳng định sự tồn tại của một tiếp tuyến như thế trong mọi trường hợp ( f ( a ) , g ( a ) ) {\displaystyle {\big (}f(a),g(a){\big )}} và ( f ( b ) , g ( b ) ) {\displaystyle {\big (}f(b),g(b){\big )}} là các điểm phân biệt, bởi vì điều này được thỏa mãn chỉ khi tồn tại một giá trị c {\displaystyle c} sao cho f ′ ( c ) = g ′ ( c ) = 0 {\displaystyle f'(c)=g'(c)=0} , nói cách khác, một giá trị mà tại đó đường cong dừng. Một ví dụ cho trường hợp này là đường cong được cho bởi

t ↦ ( t 3 , 1 − t 2 ) , {\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),}

trên khoảng [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} đi từ điểm (-1,0) đến điểm (1,0), không có một tiếp tuyến nằm ngang. Tuy nhiên nó có một điểm dừng tại t = 0 {\displaystyle t=0} .

Tập tin:Cauchy MVT illustration.pngĐồ thị của đường cong t ↦ ( t 3 , 1 − t 2 ) {\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})} . Dễ thấy rằng không tồn tại một tiếp tuyến nằm ngang trên đường cong này.

Định lý giá trị trung bình Cauchy có thể được dùng để chứng minh quy tắc l'Hôpital. Định lý giá trị trung bình là một trường hợp đặc biệt của định lý giá trị trung bình Cauchy khi g {\displaystyle g} là hàm số đồng nhất: g ( t ) = t {\displaystyle g(t)=t} .

Chứng minh của định lý trung bình Cauchy

Chứng minh của định lý trung bình Cauchy được dựa trên ý tưởng tương tự với chứng minh của định lý giá trị trung bình.

Đặt h ( x ) = f ( x ) − r g ( x ) {\displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)} , với r {\displaystyle r} là một hằng số ta sẽ xác định sau. Vì f , g {\displaystyle f,g} là các hàm số liên tục trên [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} và khả vi trên ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , điều tương tự cũng đúng với h {\displaystyle h} . Ta sẽ chọn r {\displaystyle r} sao cho h ( x ) {\displaystyle h(x)} thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle, tức là

h ( a ) = h ( b ) ⟺ f ( a ) − r g ( a ) = f ( b ) − r g ( b ) ⟺ r ( g ( b ) − g ( a ) ) = f ( b ) − f ( a ) ⟺ r = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) . {\displaystyle {\begin{aligned}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\&\iff r{\big (}g(b)-g(a){\big )}=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.\end{aligned}}}

Theo định lý Rolle, tồn tại một điểm c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} sao cho h ′ ( c ) = 0 {\displaystyle h'(c)=0} , và từ đẳng thức h ( x ) = f ( x ) − r g ( x ) {\displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)} , ta suy ra

f ′ ( c ) − r g ′ ( c ) = h ′ ( c ) = 0 ⇒ f ′ ( c ) g ′ ( c ) = r = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) . {\displaystyle f'(c)-rg'(c)=h'(c)=0\Rightarrow {\frac {f'(c)}{g'(c)}}=r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}

Đây chính là điều cần chứng minh.